Junio 2014: Opción A

Ejercicio 2

La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por

a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo.

b) Calcule f'(7) e interprete el signo del resultado.

c) Dibuje la función de beneficios f(x). ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el beneficio es de 138 mil euros)?.

Solución

a) Se calcula la primera derivada y se iguala a cero:

f'(x)=–4x + 36 = 0 → x = 9

	(0,9)	(9, +∞)
Signo f'(x)	+	–
Función	Creciente	Decreciente

Como se puede observar en el cambio de signo, la función es creciente en el intervalo (0,9) y decreciente en el intervalo (9,+∞).

Además tiene un máximo relativo en el punto (9, 300).

Por lo tanto la solución es:

–. La inversión que maximiza el beneficio es x=9.000 €

–. El beneficio óptimo es f(9)=300.000 €

b) La solución es la siguiente:

f'(7)= −4 × 7 + 36 = 8 > 0

Como la solución de la derivada en ese punto es positiva, la función es creciente en dicho punto.

c) Se dibuja la función de la siguiente manera:

Después se calculan los valores de x donde el beneficio es de 138.000 €.

f(x)= −2×2 + 36x + 138 = 138

-2×2 + 36x = 0 → x=0; x=18

Por lo tanto, la solución es la siguiente:

Se obtiene un beneficio de 138.000 € con una inversión de 0 € y 18.000 €.

Recuerda la teoría:
     >> Apartado 10.2 "Información extraída de la primera derivada"

Sigue jugando y ganando confianza haciendo los Ejercicios de Selectividad Matemáticas CCSS!!! "Junio 2014: Opcion B: Ejercicio 2"