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Tema 7: Problemas métricos

Contenidos

7.3.- Distancia entre puntos,  rectas y planos

7.3.1.- Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) se calcula como:

2014-12-24 15_46_12-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

  • Ejemplo:

La distancia entre  P (5, -1, 7) y Q (4, -5, 11) es:

2014-12-24 15_51_45-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

7.3.2.- Distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto P y una recta r de vector director , se puede calcular mediante la siguiente expresión:

2014-12-24 15_52_44-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

  • Ejemplo:

Calcular la distancia entre el punto  P (5, -1, 7) y la recta r de la ecuación:

2014-12-24 15_53_30-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

El vector director de r es  d(-2,-1,1) y un punto de r ,haciendo λ=0  ,es R (-2,-1,1) . Por tanto:

2014-12-24 15_55_23-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

2014-12-24 15_55_28-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

2014-12-24 15_55_32-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

2014-12-24 15_55_36-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

2014-12-24 15_55_41-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

7.3.3.- Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto P(x0, y0, z0) a un plano π: ax+by+cz=0  puede calcularse a través de la siguiente expresión:

2014-12-24 15_59_00-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

  • Ejemplo:

Calcular la distancia del punto  P (3, 1, 7) al plano π: x-3y+5z-1=0  es:

2014-12-24 16_00_36-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

7.3.4.- Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas, r y s, se puede calcular a través de la siguiente expresión:

2014-12-24 16_02_06-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

 

(donde P y Q son puntos cualquiera de r y s respectivamente)

  • Ejemplo:

Calcular la distancia entre las rectas r y s:

2014-12-24 16_03_54-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

Obtenemos los vectores directores de ambas rectas y punto cualquiera de ambas:

2014-12-24 16_04_29-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

Calculamos el vector PQ

2014-12-24 16_05_05-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

Por tanto:

2014-12-24 16_06_16-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

2014-12-24 16_06_22-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

2014-12-24 16_06_26-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

2014-12-24 16_06_33-7. Problemas métricos - Rev1_FRAN.docx - Microsoft Word

7.3.5.- Distancia entre una recta y un plano

  • Si la recta y el plano se cortan, la distancia es cero
  • Si r es paralelo a π y P es un  punto de π, dist (r, π) = dist (P, π)

7.3.6.- Distancia entre dos planos

  • Si dos planos se cortan la distancia entre ellos es cero.
  • Si π es paralelo a π’ y P es un  punto de π, dist (π, π’) = dist (P, π’)

Sigue estudiando!!! continúa con el apartado 7.4.- "Medidas de áreas y volúmenes"
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