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Tema 5: Vectores en el Espacio

Contenidos

5.4- Operaciones de un Vector en el Espacio

Las operaciones de un vector en el espacio son:

  • Suma
  • Producto de un número por un vector
  • Producto escalar
  • Producto vectorial
  • Producto mixto

5.4.1- Suma

2014-10-18 14_12_57-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

 

5.4.2- Producto de un número por un vector

2014-10-18 14_14_11-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

  • Nota :

Las operaciones Suma y Producto de un número por un vector, sirven para pasar los vectores del “dibujo” a números.

Con estas dos operaciones y con el concepto “Sistema de Referencia” o (s.d.r) es posible convertir los problemas vectoriales en problemas numéricos. De esta forma se transforma el problema vectorial desde un sistema descriptivo (dibujo) a un sistema analítico, gracias a las coordenadas cartesianas.

2014-10-18 14_14_57-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

Además con los s.d.r es posible dotar de coordenadas a los puntos del espacio. Cada punto P del espacio se puede considerar el extremo de un vector que tiene como origen O, llamado vector posición.

5.4.3- Producto escalar

El resultado de un producto escalar es un número, se calcula a partir del producto del módulo de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman ambos vectores.

La fórmula es:

2014-10-18 14_18_02-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

  • Nota :

La expresión del cálculo analítico del producto escalar es bastante laborioso. Con el fin de simplificarlo, para calcular el producto escalar se utilizan unas bases que simplifican el cálculo de los productos escalares. Estas bases son las llamadas bases “orto-normales”, dos vectores son orto-normales si:

 -. Ambos vectores son perpendiculares (ortogonales)

2014-10-18 14_20_22-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

-. Módulo de ambos vale la unidad

2014-10-18 14_20_28-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

  • Ejemplo:

Teniendo en cuenta la Nota anterior, si disponemos de 2 vectores orto-normales

2014-10-18 14_22_36-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

2014-10-18 14_22_43-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

5.4.4- Producto vectorial

La fórmula del producto vectorial es la siguiente:

2014-10-18 14_24_35-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

Siendo el resultado,

2014-10-18 14_24_44-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

  • Nota :

Utiliza la regla del “tornillo” o del “sacacorchos” para dibujar el resultado del producto vectorial.

2014-10-18 14_26_06-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

5.4.5- Producto mixto

La fórmula del producto mixto es la siguiente:

2014-10-18 14_26_48-5. Vectores en el Espacio - Teor¡a - Rev1_LeoMartin.docx (Guardado por última ve

Felicidades!!! Finalizaste la Teoría de Vectores en el Espacio!!! 
Ahora puedes divertirte haciendo los Ejercicios Tipo ;)
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