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13.2.– Cálculo de áreas

Cálculo de área: 2 funciones

El área comprendida entre dos funciones se puede calcular mediante la siguiente expresión:

2015-04-19 02_22_40-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

(siendo a y b los puntos de corte de ambas funciones)

  • Ejemplo: «Hallar el área comprendida entre las curvas»

2015-04-19 02_24_51-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Se calculan los puntos de corte de ambas funciones. Para ello se igualan entre sí y se resuelve la ecuación resultante:

2015-04-19 02_25_24-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Por tanto, el área encerrada por las dos funciones es:

2015-04-19 02_26_12-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Gráficamente el área calculada se muestra a continuación:

2015-04-19 02_27_08-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

 

Cálculo de área: una función y el eje

  • Ejemplos: «Calcular el área comprendida entre la función y=x2–4 y el eje OX«

Este es un caso particular del área comprendida entre dos funciones, donde una de las dos funciones es el eje x, es decir la función y=0 .

Para calcular el área comprendida entre una función cualquiera y el eje x, lo primero que hay que hacer es calcular los puntos de corte de dicha función con el eje x. Para ello igualamos la función a cero y resolvemos:

2015-04-19 02_36_04-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

El siguiente paso es calcular la integral en valor absoluto de la función entre los puntos obtenidos, ya que el área nunca puede dar como resultado un valor negativo:

2015-04-19 02_37_02-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

2015-04-19 02_37_13-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Gráficamente el área calculada se muestra en la siguiente imagen:

2015-04-19 02_38_14-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

 

Cálculo de área: una función, eje X, 2 rectas

  • Ejemplos: «Calcular el área comprendida entre la curva y=x3–x, el eje X y las rectas x=0 y x=2. 

Las rectas dadas (x=0 y x=2) van a delimitar el intervalo de integración. Sin embargo, se deben calcular los puntos de corte entre la función dada y el eje OX para saber si en ese intervalo,  existe algún punto de corte intermedio que debe tenerse en cuenta al integrar.

Para calcular los puntos de corte se iguala la función a cero y se resuelve la ecuación,

2015-04-19 02_45_17-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Se observa que uno de los puntos de corte está dentro del intervalo de integración, concretamente el punto x=1. Por tanto para obtener el área requerida habrá que calcular:

2015-04-19 02_48_00-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Calculamos cada una de ellas por separado:

2015-04-19 02_48_55-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

2015-04-19 02_49_22-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Por tanto la solución es:

2015-04-19 02_50_30-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Gráficamente el área obtenida se muestra en la siguiente imagen:

2015-04-19 02_51_30-ejercicios resueltos selectividad matematicas - VadeMATES

Sigue estudiando!!! continúa con el apartado 13.3.- Volumen de un cuerpo de revolución
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